Cómo calcular un porcentaje: la fórmula y los cuatro casos

Cuatro preguntas, no una

"Calcular un porcentaje" suena a una sola operación, pero en la práctica son cuatro cálculos distintos, y casi todos los errores vienen de aplicar la fórmula de uno a la pregunta de otro.

1. El porcentaje de una cantidad. ¿Cuánto es el 20 % de 250?

cantidad × porcentaje ÷ 100 → 250 × 20 ÷ 100 = 50

2. Qué porcentaje es un número de otro. ¿Qué porcentaje es 30 de 250?

parte ÷ total × 100 → 30 ÷ 250 × 100 = 12 %

3. La variación porcentual. ¿Cuánto ha subido de 250 a 300?

(final − inicial) ÷ inicial × 100 → (300 − 250) ÷ 250 × 100 = 20 %

4. Aplicar un aumento o una reducción. ¿Cuánto son 250 con un 20 % menos?

cantidad × (1 ± porcentaje ÷ 100) → 250 × 0,8 = 200

Si duda de cuál necesita, fíjese en qué dato le falta: si le falta una parte, es el caso 1; si le falta el porcentaje, el 2 o el 3; si le falta el resultado final, el 4.

La variación siempre se mide sobre el inicial

Es el punto donde más gente se equivoca. Pasar de 250 a 300 es una subida del 20 %, porque los 50 € de diferencia se comparan con los 250 de partida. Pero bajar de 300 a 250 no es una caída del 20 %, sino del 16,7 %, porque ahora el punto de referencia es 300.

La misma diferencia absoluta produce dos porcentajes distintos según desde dónde se mire. Por eso una noticia puede decir con verdad que un precio "subió un 20 % y luego bajó un 17 %" y estar describiendo una vuelta exacta al punto de partida.

Por qué los porcentajes no se suman

Si un precio de 100 € sube un 20 % queda en 120 €. Si después baja un 20 %, no vuelve a 100 € sino a 96 €: el segundo porcentaje se aplica sobre una base mayor.

Lo mismo ocurre con los descuentos encadenados. Un 30 % en el escaparate más un 10 % en caja no es un 40 %: 100 € menos 30 % son 70 €, y menos otro 10 % son 63 €, es decir un 37 % de descuento total.

La regla general: para encadenar porcentajes se multiplican los factores, no se suman los porcentajes. Un 30 % y un 10 % de descuento son 0,7 × 0,9 = 0,63, o sea un 37 % de rebaja.

Deshacer un porcentaje es dividir, no restar

Si a un precio le han añadido un 21 % de IVA y quiere la base, no reste el 21 %: divida entre 1,21.

• 100 € + 21 % = 121 €
• 121 € − 21 % = 95,59 € ← incorrecto
• 121 € ÷ 1,21 = 100 € ← correcto

Es la misma idea de antes vista desde el otro lado: el 21 % se calculó sobre 100, no sobre 121, así que restarlo del total quita de más.

Puntos porcentuales

Cuando lo que sube es ya un porcentaje, hay dos formas correctas de decirlo y conviene distinguirlas.

Si un tipo de interés pasa del 2 % al 3 %, ha subido un punto porcentual. Y también ha aumentado un 50 % en términos relativos, porque 1 sobre 2 es la mitad. Ambas frases son ciertas y describen exactamente lo mismo; la segunda suena mucho más dramática, que es justamente por lo que conviene fijarse en cuál está usando quien se lo cuenta.

Cuando el problema viene con unidades y no con porcentajes

Un porcentaje es una regla de tres directa en la que la primera magnitud vale 100. Cuando la pregunta no llega en tanto por ciento sino con kilos, euros, días u horas, el planteamiento natural es el otro: cómo hacer una regla de tres explica el método en cuatro pasos, la diferencia entre directa e inversa, y los cuatro casos en los que la proporción no existe y multiplicar en cruz da un número equivocado.