Cómo hacer una regla de tres, directa, inversa y compuesta

Qué es una regla de tres

Una regla de tres resuelve una proporción: relaciona dos magnitudes de las que conoce tres valores y le devuelve el cuarto. Si 3 kg de naranjas cuestan 12 €, ¿cuánto cuestan 5 kg?

Lo que hace que eso funcione no es la cruz que se dibuja en el colegio. Es que hay algo que no cambia entre los dos pares, y ese algo tiene siempre un nombre real:

• En las naranjas lo que no cambia es el precio por kilo: 12 € ÷ 3 kg = 4 €/kg. Es un cociente.
• Si 4 obreros terminan una obra en 6 días, lo que no cambia es el trabajo total: 4 × 6 = 24 obrero-días. Es un producto.

Esa es la única distinción que importa en toda esta página. Cuando la constante es un cociente, la regla de tres es directa. Cuando es un producto, es inversa. Las dos fórmulas que se memorizan en clase son consecuencias de eso, no reglas independientes, y si alguna vez las olvida puede reconstruirlas en cinco segundos preguntándose qué cantidad se mantiene igual.

Cómo hacer una regla de tres paso a paso

El método tiene cuatro pasos y el primero es el que evita casi todos los errores.

Paso 1. Escriba cada valor con su unidad. No 3, 12 y 5, sino 3 kg, 12 € y 5 kg. Con las unidades delante es imposible colocar los kilos donde van los euros, que es de donde salen la mayoría de los planteamientos mal hechos.

Paso 2. Coloque los pares en dos filas, con la misma magnitud siempre en la misma columna:

Paso 3. Decida el tipo. Si la primera magnitud se duplica, ¿la segunda se duplica o se reduce a la mitad? Seis kilos cuestan más que tres, así que es directa.

Paso 4. Despeje.

• Directa: X = B × C ÷ A = 12 × 5 ÷ 3 = 20 €.
• Inversa: X = A × B ÷ C.

Puede hacer los cuatro pasos, y comprobar el resultado, en la calculadora de regla de tres: pide los tres valores y el tipo, y devuelve la proporción planteada además del número.

Regla de tres directa: lo que se conserva es un cociente

En una relación directa las dos magnitudes crecen y decrecen juntas, y lo que permanece igual es B ÷ A, que casi siempre es una cantidad con nombre propio: euros por kilo, euros por litro, kilómetros por hora, gramos de harina por ración.

Con las naranjas ese cociente es 4 €/kg, así que cinco kilos son 4 × 5 = 20 €. Multiplicar en cruz da exactamente lo mismo, porque la igualdad de cocientes 12 ÷ 3 = X ÷ 5 se reordena en 3 × X = 12 × 5. La cruz es un atajo aritmético para esa reordenación, no un principio aparte.

Una consecuencia práctica: en una relación directa el cero está en el cero. Cero kilos cuestan cero euros. Ese es el requisito que, cuando falla, invalida la regla de tres, y es el motivo de la sección sobre las cantidades fijas más abajo.

Regla de tres inversa: lo que se conserva es un producto

En una relación inversa una magnitud sube cuando la otra baja, y lo que permanece igual es A × B.

Cuatro obreros terminan una obra en 6 días. ¿Cuánto tardarán 8 obreros? El trabajo total de la obra son 4 × 6 = 24 obrero-días y no depende de cuánta gente lo reparta, así que con ocho personas son 24 ÷ 8 = 3 días. En forma de fórmula, X = A × B ÷ C.

Fíjese en lo que pasaría si multiplicara en cruz por costumbre: 6 × 8 ÷ 4 = 12 días. El doble de trabajadores tardando el doble de tiempo. Ese sinsentido es la mejor comprobación de que se ha equivocado de tipo, y funciona siempre: si el resultado va en la dirección contraria al sentido común, ha aplicado la fórmula equivocada.

La regla de tres inversa aparece más de lo que parece. En un viaje lo constante es la distancia (velocidad × tiempo), al llenar un depósito son los litros (caudal × horas), y en un rectángulo de superficie fija es el área (base × altura).

La pregunta que decide si es directa o inversa

Una sola frase resuelve el caso: si la primera magnitud se duplica, ¿la segunda se duplica o se reduce a la mitad? Si se duplica, directa. Si se parte por la mitad, inversa.

Y si la duda persiste, busque la constante y mire su unidad. Un cociente indica directa, un producto indica inversa.

Que la constante tenga nombre no es una curiosidad: es la comprobación de que la proporción existe. Cuando no consigue ponerle nombre, normalmente es porque no la hay.

Regla de tres compuesta: una magnitud cada vez

Una regla de tres compuesta relaciona tres o más magnitudes. El enunciado típico de examen es este: 4 obreros trabajando 8 horas diarias terminan una obra en 9 días; ¿cuánto tardarán 6 obreros trabajando 7 horas diarias?

No hace falta una fórmula nueva. El método es comparar cada magnitud con la incógnita por separado, dejando las demás quietas, y multiplicar después los factores que salgan:

• Obreros. Más obreros, menos días: inversa. Factor = valor antiguo ÷ valor nuevo = 4 ÷ 6.
• Horas diarias. Más horas al día, menos días: inversa. Factor = 8 ÷ 7.

X = 9 × (4 ÷ 6) × (8 ÷ 7) = 6,86 días.

La regla mecánica que se deduce de ahí es cómoda de recordar: para una magnitud inversa el factor es antiguo ÷ nuevo, y para una directa es nuevo ÷ antiguo.

Añada una tercera magnitud, esta vez directa, y el método no cambia. Si además de cambiar la plantilla y el horario el muro pasa de 100 a 150 metros, más metros significan más días, así que el factor es 150 ÷ 100:

X = 9 × (4 ÷ 6) × (8 ÷ 7) × (150 ÷ 100) = 10,29 días.

El camino largo es el que nunca falla

Si en un examen o en una factura no se fía del signo de algún factor, hay una alternativa más lenta y mucho más segura: reducir a la unidad. Calcule la constante con nombre y divida.

La obra original son 4 obreros × 8 horas × 9 días = 288 obrero-horas para 100 metros de muro, es decir 2,88 obrero-horas por metro. Ciento cincuenta metros son 432 obrero-horas. La nueva cuadrilla aporta 6 × 7 = 42 obrero-horas al día, así que 432 ÷ 42 = 10,29 días.

Mismo resultado por un camino en el que cada número intermedio significa algo comprobable. Cuando los dos métodos coinciden, el planteamiento es correcto.

Cuándo la regla de tres no sirve

Esta es la parte que se cuenta menos y la que más dinero cuesta. Una regla de tres solo es válida si la relación entre las dos magnitudes es proporcional, es decir, si al multiplicar una por un número la otra queda multiplicada por ese mismo número. Hay cuatro familias muy comunes en las que eso no ocurre.

Las tarifas por tramos

Un turismo de menos de 8 caballos fiscales paga 12,62 € de impuesto de circulación en la tarifa estatal del artículo 95.1 del texto refundido de la Ley Reguladora de las Haciendas Locales. Uno de 8 a 11,99 paga 34,08 €, y uno de 16 a 19,99 paga 89,61 €.

Duplicar la potencia fiscal de 8 a 16 caballos no duplica la cuota: la multiplica por 2,63. Una regla de tres desde el primer tramo daría 68,16 € y la cuota real es 89,61 €, veintiún euros y medio de diferencia. Toda tarifa escalonada rompe la proporcionalidad en cada salto, y en España están escalonados el IRPF, el impuesto de sucesiones, el de transmisiones patrimoniales y este.

Los importes con una parte fija

Una comisión del 1 % con un mínimo de 3 € no es proporcional. Sobre 100 € cuesta 4,00 €, que es el 4 %. Sobre 200 € cuesta 5,00 €, que es el 2,5 %. La magnitud crece con el importe, pero no arranca en el cero, y ese es justamente el requisito de la relación directa. El mismo problema tienen los gastos de envío, las cuotas de mantenimiento y cualquier tarifa con un tramo mínimo.

El interés compuesto

Diez mil euros al 3 % anual se convierten en 13.439,16 € en diez años y en 18.061,11 € en veinte. Los intereses no son 3.439,16 € y luego el doble, sino 3.439,16 € y 8.061,11 €: una regla de tres sobre el plazo se queda corta en 1.182,79 €, porque cada año los intereses ganados empiezan a generar intereses ellos mismos. La relación entre plazo y dinero es exponencial, no proporcional, y en un plazo largo la diferencia deja de ser un matiz. Está explicada con la fórmula completa en qué es el interés compuesto y se ve con sus propias cifras en la calculadora de interés compuesto.

Los porcentajes aplicados uno sobre otro

Subir un precio un 20 % y bajarlo después otro 20 % no devuelve el precio inicial: 100 pasa a 120 y de ahí a 96. El segundo porcentaje se aplica sobre una cifra distinta de la primera.

El caso cotidiano de esta trampa es el IVA. Con el tipo general del 21 % del artículo 90.Uno de la Ley 37/1992, un artículo de 100,00 € se vende a 121,00 €. Para recuperar la base hay que dividir entre 1,21, no restar el 21 %: restarlo da 95,59 € en lugar de 100,00 €, un error de 4,41 € que crece con el importe. El desglose completo está en cómo calcular el IVA.

Y el límite físico

Aunque la relación sea inversa de verdad, la proporcionalidad supone que el trabajo se reparte sin fricción. Cien obreros en un piso de sesenta metros cuadrados no terminan en la centésima parte del tiempo, y el ejemplo clásico es que nueve personas no gestan un bebé en un mes. Antes de aplicar una regla de tres inversa conviene comprobar que el reparto es posible.

El precio por unidad de medida: la regla de tres que ya está hecha

En España la regla de tres más útil de la vida diaria, comparar dos envases de distinto tamaño, suele estar resuelta antes de que llegue usted, y por obligación legal.

El Real Decreto 3423/2000, que traspone la Directiva 98/6/CE, obliga en su artículo 3.2 a indicar el precio por unidad de medida en todos los productos que deban llevar indicada la cantidad y en los que se venden por unidades. El artículo 2.b) define esa cifra como el precio final por kilogramo, litro, metro, metro cuadrado o metro cúbico, incluidos el IVA y todos los demás impuestos, así que es directamente comparable entre marcas.

El artículo 4.1 es el que la hace utilizable: precio de venta y precio por unidad de medida deben ser inequívocos, legibles, estar en el mismo campo visual y ser visibles sin que el consumidor tenga que pedirlos. Y el artículo 3.5 extiende la obligación a la publicidad que mencione el precio. En los productos a granel, según el artículo 3.4, solo se indica el precio por unidad de medida.

Donde sí le toca hacer la cuenta a usted es en las siete excepciones del anexo I:

• productos comercializados en cantidades inferiores a 50 g o 50 ml,
• envases que reúnen productos de distinta naturaleza que no se venden por separado,
• venta automática, es decir, máquinas expendedoras,
• porciones individuales de helado,
• vinos de mesa con indicación geográfica y vinos con denominación de origen,
• bebidas espirituosas con denominación geográfica,
• productos alimenticios de fantasía.

La primera es la que más aparece: especias, levaduras, sobres de azafrán y buena parte del pasillo de repostería están por debajo de los 50 gramos, y ahí no hay precio por kilo que mirar.

Hay una segunda cosa que conviene saber, porque comparar por el peso puede llevarle a la respuesta contraria. El anexo II normaliza la unidad de algunos productos: los huevos se miden por docena, los cosméticos y los complementos alimenticios por 100 g o 100 ml, el tabaco de pipa por 100 g, y los detergentes de lavadora por la cantidad necesaria para un lavado, no por kilo. Dos cajas de detergente se comparan por lavado justamente porque la dosis por lavado no es la misma en las dos.

Que se cumpla lo vigilan los órganos de consumo de las comunidades autónomas (artículo 5), y el artículo 6 remite el régimen sancionador a la normativa general de defensa de los consumidores.

Un ejemplo con números reales

Una compra corriente, con las cuatro situaciones seguidas. Los precios son un supuesto, la aritmética es la que haría usted en el pasillo.

1. Dos botes de café. Uno de 400 g a 8,60 € y otro de 250 g a 5,60 €. La regla de tres es directa, porque cero gramos cuestan cero euros:

• 400 g son 8,60 €, luego 1.000 g son 8,60 × 1.000 ÷ 400 = 21,50 €/kg.
• 250 g son 5,60 €, luego 1.000 g son 5,60 × 1.000 ÷ 250 = 22,40 €/kg.

El bote grande sale 0,90 € más barato por kilo aunque su precio en la etiqueta sea más alto. Esas dos cifras deberían estar ya impresas debajo del precio, por el artículo 3.2.

2. Un sobre de azafrán de 1 g a 2,95 €. Está por debajo de los 50 g, así que el anexo I exime a la tienda de indicar el precio por unidad de medida. La regla de tres la hace usted: 2,95 × 1.000 = 2.950 €/kg. No es un abuso, es lo que cuesta el azafrán, pero es exactamente la clase de cifra que la etiqueta no le va a dar.

3. Dos detergentes. Una caja de 40 lavados a 12,00 € y otra de 55 lavados a 11,00 €. El anexo II fija la unidad en el lavado, no en el kilo:

• 12,00 ÷ 40 = 0,30 € por lavado.
• 11,00 ÷ 55 = 0,20 € por lavado.

La segunda cuesta un tercio menos por lavado y además es más barata en la etiqueta. Comparándolas por peso podría haber salido lo contrario, porque los detergentes concentrados pesan menos por dosis.

4. La oferta de la caja. Un artículo de 4,00 € en un 3 × 2 frente al mismo artículo con un 30 % de descuento. Tres unidades al precio de dos son 8,00 € por tres, es decir 8,00 ÷ 3 = 2,67 € por unidad, un descuento efectivo del 33,33 %. Con el 30 % cada unidad costaría 2,80 €. El 3 × 2 gana por 0,13 € en cada unidad, 0,40 € en las tres, siempre que necesite las tres. Si solo quería una, el descuento del 30 % es mejor y el 3 × 2 no es ningún ahorro. Puede contrastar ofertas de este tipo en la calculadora de descuento.

Cuatro reglas de tres en una compra, y ninguna necesita nada más que saber cuál es la constante.

La regla de tres y los porcentajes son la misma cuenta

Un porcentaje es una regla de tres directa en la que la primera magnitud vale 100. El 20 % de 250 se plantea como 100 es a 20 lo que 250 es a X, y se resuelve igual: X = 20 × 250 ÷ 100 = 50.

Por eso las dos herramientas se solapan y conviene elegir la cómoda. Cuando la pregunta viene en tanto por ciento, la calculadora de porcentaje llega antes, y el método está desarrollado en cómo calcular un porcentaje. Cuando viene con unidades reales, kilos, euros, días u horas, la regla de tres es el planteamiento natural, porque le obliga a nombrar la constante y eso es lo que evita el error.